Christoffer De Geer 20 Maret 2026

Apa itu Aproksimasi Stirling?

n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Galat relatif < 1/(12n). Ditemukan secara independen oleh de Moivre dan Stirling pada 1730.

Aproksimasi Stirling menyatakan bahwa untuk n besar, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Kemunculan π dan e sekaligus dalam rumus tentang banyaknya permutasi sangat mencolok. Untuk n = 10, galatnya kurang dari 1%. Untuk n = 100, kurang dari 0,1%. Rumus ini terus membaik tanpa batas saat n membesar.

Stirling approximation: relative error rapidly → 0

The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.

Abraham de Moivre menemukan pada 1730 bahwa n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ untuk suatu konstanta C. James Stirling mengidentifikasi C = √(2π) pada tahun yang sama. Faktor √(2π) berasal dari integral Gaussian: ketika aproksimasi Stirling diturunkan melalui fungsi Gamma, integral ∫e^(-t²)dt = √π muncul dan membawa π masuk ke dalam rumus.

Stirling's formula: logarithmic form

ln(n!) ≈ n·ln(n) − n + ½·ln(2πn)

Equivalent: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Relative error → 0 as n → ∞. Exact for all practical purposes when n ≥ 20.

Bentuk logaritmiknya dipakai di seluruh fisika: dalam mekanika statistik, rumus entropi Boltzmann S = k·ln(W) memerlukan ln(N!) untuk N yang sangat besar. Stirling memberi ln(N!) ≈ N·ln(N) - N sehingga perhitungan menjadi mungkin. Deret asimtotik penuhnya menambahkan koreksi: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)

Euler's Number e → Gaussian Integral → Taylor Series → Euler-Mascheroni Constant → Pi (π) →

log(n!) grows exactly as Stirling predicts

On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.

Topik terkait

Gamma E Teorema Bilangan Prima

Digunakan dalam

∑Matematika

✓

⚛Fisika

✓

⚙Teknik

–

🧬Biologi

✓

💻Ilmu Komputer

✓

📊Statistika

✓

📈Keuangan

–

🎨Seni

–

🏛Arsitektur

–

♪Musik

–

🔐Kriptografi

–

🌌Astronomi

–

⚗Kimia

✓

🦉Filsafat

–

🗺Geografi

–

🌿Ekologi

–

Ingin menguji pengetahuan Anda?

Pertanyaan

Bagaimana aproksimasi Stirling digunakan dalam mekanika statistik?

ketuk · spasi

1 / 10

Siap bermain?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Main sekarang - gratis

Tanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.