Cos'è l'approssimazione di Stirling?
L'approssimazione di Stirling afferma che per n grande, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. La comparsa di sia π che e in una formula sulle permutazioni è sorprendente. Per n = 10 l'errore è sotto l'1%. Per n = 100 è sotto lo 0.1%. La formula migliora senza limiti man mano che n cresce.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Abraham de Moivre scoprì nel 1730 che n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ per qualche costante C. James Stirling identificò C = √(2π) nello stesso anno. Il √(2π) deriva dall'integrale gaussiano: quando si deriva Stirling tramite la funzione Gamma, appare l'integrale ∫e^(-t²)dt = √π, portando π nella formula.
La forma logaritmica è usata in tutta la fisica: in meccanica statistica, la formula dell'entropia di Boltzmann S = k·ln(W) richiede ln(N!) per N enorme (moli di particelle). Stirling fornisce ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, rendendolo trattabile. La serie asintotica completa aggiunge correzioni: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.
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