การประมาณของสเตอร์ลิงคืออะไร?
การประมาณของสเตอร์ลิงกล่าวว่าสำหรับ n ที่ใหญ่ n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ การปรากฏของทั้ง π และ e ในสูตรเกี่ยวกับการนับการเรียงสับเปลี่ยนนั้นน่าทึ่ง สำหรับ n = 10 ความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1% สำหรับ n = 100 ต่ำกว่า 0.1% สูตรนี้ปรับปรุงได้อย่างไม่มีขอบเขตเมื่อ n เติบโต
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Abraham de Moivre พบในปี 1730 ว่า n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ สำหรับค่าคงตัว C บางค่า James Stirling ระบุ C = √(2π) ในปีเดียวกัน √(2π) เกิดขึ้นจากปริพันธ์เกาส์เซียน: เมื่อหาการประมาณสเตอร์ลิงผ่านฟังก์ชันแกมมา ปริพันธ์ ∫e^(-t²)dt = √π จะปรากฏ นำ π เข้าสู่สูตร
รูปแบบลอการิทึมถูกใช้ทั่วฟิสิกส์: ในกลศาสตร์เชิงสถิติ สูตรเอนโทรปีของโบลต์ซมันน์ S = k·ln(W) ต้องการ ln(N!) สำหรับ N ที่มหาศาล (โมลของอนุภาค) สเตอร์ลิงให้ ln(N!) ≈ N·ln(N) - N ทำให้คำนวณได้ อนุกรมเชิงเส้นกำกับเต็มเพิ่มการแก้ไข: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
