Christoffer De Geer 20. března 2026

Co je Stirlingův odhad?

n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Relativní chyba < 1/(12n). Objevil de Moivre a Stirling nezávisle na sobě v roce 1730.

Stirlingův odhad říká, že pro velké n platí n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Objev obou π a e ve vzorci pro počítání permutací je překvapivý. Pro n = 10 je chyba pod 1 %. Pro n = 100 je pod 0.1 %. Vzorec se neomezeně zlepšuje s rostoucím n.

Stirling approximation: relative error rapidly → 0

The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.

Abraham de Moivre zjistil v roce 1730, že n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ pro nějakou konstantu C. James Stirling ve stejném roce identifikoval C = √(2π). Hodnota √(2π) vychází z gaussova integrálu: při odvození Stirlingova vzorce pomocí gamma funkce se objeví integrál ∫e^(-t²)dt = √π, který vnáší π do vzorce.

Stirling's formula: logarithmic form

ln(n!) ≈ n·ln(n) − n + ½·ln(2πn)

Equivalent: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Relative error → 0 as n → ∞. Exact for all practical purposes when n ≥ 20.

Logaritmická forma se používá v celé fyzice: v statistické mechanice Boltzmannův vzorec pro entropii S = k·ln(W) vyžaduje ln(N!) pro obrovské N (moly částic). Stirling dává ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, což to ztěžitelné zjednoduší. Plná asymptotická řada přidává korekce: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)

Eulerovo číslo e → Gaussův integrál → Taylorova řada → Eulerova-Mascheroniho konstanta → Pi (π) →

log(n!) grows exactly as Stirling predicts

On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.

Související témata

Gamma E Věta o prvočíslech

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

✓

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Jak se Stirlingův přibližný vzorec používá ve statistické mechanice?

tap · space

1 / 10

Připraveni hrát?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Hrát nyní - zdarma

Bez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.