Τι είναι η προσέγγιση του Stirling;
Η προσέγγιση του Stirling λέει ότι για μεγάλα n, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Η εμφάνιση τόσο του π όσο και του e σε έναν τύπο για την καταμέτρηση μεταθέσεων είναι εντυπωσιακή. Για n = 10 το σφάλμα είναι κάτω από 1%. Για n = 100 είναι κάτω από 0.1%. Ο τύπος βελτιώνεται απεριόριστα καθώς το n αυξάνεται.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Ο Abraham de Moivre βρήκε το 1730 ότι n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ για κάποια σταθερά C. Ο James Stirling προσδιόρισε C = √(2π) την ίδια χρονιά. Το √(2π) προκύπτει από το ολοκλήρωμα Gauss: κατά την παραγωγή του Stirling μέσω της συνάρτησης Γάμμα, εμφανίζεται το ολοκλήρωμα ∫e^(-t²)dt = √π, μεταφέροντας το π στον τύπο.
Η λογαριθμική μορφή χρησιμοποιείται σε όλη τη φυσική: στη στατιστική μηχανική, ο τύπος εντροπίας του Boltzmann S = k·ln(W) απαιτεί ln(N!) για τεράστιο N (mol σωματιδίων). Ο Stirling δίνει ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, καθιστώντας το χειρίσιμο. Η πλήρης ασυμπτωτική σειρά προσθέτει διορθώσεις: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
