מהו הקירוב של סטירלינג?
הקירוב של סטירלינג אומר שעבור n גדול, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. הופעתם של גם π וגם e בנוסחה על ספירת תמורות מדהימה. עבור n = 10 השגיאה היא פחות מ-1%. עבור n = 100 היא פחות מ-0.1%. הנוסחה משתפרת ללא חסם ככל ש-n גדל.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
אברהם דה מואבר מצא ב-1730 ש-n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ עבור קבוע כלשהו C. ג'יימס סטירלינג זיהה את C = √(2π) באותה שנה. ה-√(2π) נובע מהאינטגרל הגאוסי: בגזירת סטירלינג באמצעות פונקציית הגמא, מופיע האינטגרל ∫e^(-t²)dt = √π, שמכניס את π לנוסחה.
הצורה הלוגריתמית בשימוש בכל רחבי הפיזיקה: במכניקה סטטיסטית, נוסחת האנטרופיה של בולצמן S = k·ln(W) דורשת ln(N!) עבור N עצום (מולים של חלקיקים). סטירלינג נותן ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, ומאפשר את חישובה. הטור האסימפטוטי המלא מוסיף תיקונים: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
