Cos'è il Teorema dei Numeri Primi?
Scriviamo π(n) per il numero di numeri primi fino a n. Il Teorema dei Numeri Primi afferma che π(n) cresce come n/ln(n). Man mano che n aumenta, circa 1 numero su ln(n) vicino a n è primo. Vicino a un milione, circa 1 numero su 14 è primo. Vicino a un miliardo, 1 su 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) - the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Gauss congetturò il risultato intorno al 1800 dopo aver studiato le tavole dei numeri primi. Fu dimostrato indipendentemente nel 1896 da Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin, entrambi utilizzando la funzione zeta di Riemann e l'analisi complessa. Una dimostrazione puramente elementare (senza analisi complessa) fu trovata indipendentemente da Selberg ed Erdős nel 1948.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
L'Ipotesi di Riemann fornirebbe il limite più preciso sull'errore: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Senza di essa, sappiamo solo che l'errore è o(n/ln(n)). È per questo che l'Ipotesi di Riemann è il problema aperto più importante della matematica: ci direbbe esattamente quanto sono prevedibili gli intervalli tra i numeri primi.
Un'approssimazione più accurata di π(n) rispetto a n/ln(n) è l'integrale logaritmico Li(n) = integrale da 2 a n di dt/ln(t). Gauss preferiva questa forma. Per n = 1,000,000: n/ln(n) dà 72,382 mentre Li(n) dà 78,628, contro il conteggio esatto di 78,498. L'errore di Li(n) è molto più piccolo. L'Ipotesi di Riemann limiterebbe precisamente questo errore a sqrt(n) * ln(n).
Pi
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