Що таке теорема про розподіл простих чисел?
Позначимо через π(n) кількість простих чисел до n. Теорема про розподіл простих чисел стверджує, що π(n) зростає як n/ln(n). Зі зростанням n приблизно 1 із кожних ln(n) чисел поблизу n є простим. Поблизу мільйона приблизно 1 із 14 чисел є простим. Поблизу мільярда - 1 із 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Гаусс висунув цей результат близько 1800 року після вивчення таблиць простих чисел. Його доведено незалежно 1896 року Жаком Адамаром і Шарлем-Жаном де ла Валле Пуссеном, обидва використовували дзета-функцію Рімана та комплексний аналіз. Суто елементарне доведення (без комплексного аналізу) незалежно знайшли Сельберг та Ердеш 1948 року.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
Гіпотеза Рімана дала б найточнішу межу похибки: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Без неї ми знаємо лише, що похибка є o(n/ln(n)). Ось чому гіпотеза Рімана - найважливіша відкрита проблема математики: вона б сказала нам точно, наскільки передбачувані проміжки між простими числами.
Точніше наближення до pi(n), ніж n/ln(n), - це інтегральний логарифм Li(n) = інтеграл від 2 до n від dt/ln(t). Гаусс віддавав перевагу цій формі. Для n = 1,000,000: n/ln(n) дає 72,382, тоді як Li(n) дає 78,628, проти точної кількості 78,498. Похибка Li(n) набагато менша. Гіпотеза Рімана обмежила б цю похибку точно як sqrt(n) * ln(n).
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
