מהו משפט המספרים הראשוניים?
נסמן ב-π(n) את מספר הראשוניים עד n. משפט המספרים הראשוניים אומר ש-π(n) גדל כמו n/ln(n). ככל ש-n גדל, בערך 1 מכל ln(n) מספרים ליד n הוא ראשוני. ליד מיליון, בערך 1 מכל 14 מספרים ראשוני. ליד מיליארד, 1 מכל 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
גאוס שיער את התוצאה בסביבות 1800 לאחר שחקר טבלאות ראשוניים. היא הוכחה באופן עצמאי ב-1896 על ידי ז'אק הדמר ושארל-ז'אן דה לה ואלה פוסן, שניהם באמצעות פונקציית הזטא של רימן ואנליזה מרוכבת. הוכחה אלמנטרית לחלוטין (ללא אנליזה מרוכבת) נמצאה באופן עצמאי על ידי סלברג וארדש ב-1948.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
השערת רימן הייתה נותנת את החסם החד ביותר על השגיאה: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). בלעדיה, אנו יודעים רק שהשגיאה היא o(n/ln(n)). זו הסיבה שהשערת רימן היא הבעיה הפתוחה החשובה ביותר במתמטיקה: היא הייתה אומרת לנו בדיוק עד כמה פערי הראשוניים ניתנים לחיזוי.
קירוב מדויק יותר ל-pi(n) מאשר n/ln(n) הוא האינטגרל הלוגריתמי Li(n) = האינטגרל מ-2 עד n של dt/ln(t). גאוס העדיף צורה זו. עבור n = 1,000,000: n/ln(n) נותן 72,382 בעוד Li(n) נותן 78,628, מול הספירה המדויקת של 78,498. השגיאה של Li(n) קטנה בהרבה. השערת רימן הייתה תוחמת שגיאה זו במדויק ב-sqrt(n) * ln(n).
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
