Τι είναι το θεώρημα των πρώτων αριθμών;
Γράφουμε π(n) για το πλήθος των πρώτων μέχρι το n. Το θεώρημα των πρώτων αριθμών λέει ότι το π(n) αυξάνεται όπως n/ln(n). Καθώς το n μεγαλώνει, περίπου 1 στους κάθε ln(n) αριθμούς κοντά στο n είναι πρώτος. Κοντά στο ένα εκατομμύριο, περίπου 1 στους 14 αριθμούς είναι πρώτος. Κοντά στο ένα δισεκατομμύριο, 1 στους 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Ο Gauss εικασε το αποτέλεσμα γύρω στο 1800 αφού μελέτησε πίνακες πρώτων. Αποδείχθηκε ανεξάρτητα το 1896 από τους Jacques Hadamard και Charles-Jean de la Vallée Poussin, και οι δύο χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ζήτα του Riemann και τη μιγαδική ανάλυση. Μια καθαρά στοιχειώδης απόδειξη (χωρίς μιγαδική ανάλυση) βρέθηκε ανεξάρτητα από τους Selberg και Erdős το 1948.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
Η υπόθεση του Riemann θα έδινε το ακριβέστερο φράγμα στο σφάλμα: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Χωρίς αυτήν, γνωρίζουμε μόνο ότι το σφάλμα είναι o(n/ln(n)). Γι' αυτό η υπόθεση του Riemann είναι το σημαντικότερο ανοιχτό πρόβλημα των μαθηματικών: θα μας έλεγε ακριβώς πόσο προβλέψιμα είναι τα κενά μεταξύ των πρώτων.
Μια ακριβέστερη προσέγγιση του pi(n) από το n/ln(n) είναι το λογαριθμικό ολοκλήρωμα Li(n) = ολοκλήρωμα από 2 έως n του dt/ln(t). Ο Gauss προτιμούσε αυτή τη μορφή. Για n = 1,000,000: το n/ln(n) δίνει 72,382 ενώ το Li(n) δίνει 78,628, έναντι του ακριβούς πλήθους 78,498. Το σφάλμα του Li(n) είναι πολύ μικρότερο. Η υπόθεση του Riemann θα έφραζε αυτό το σφάλμα ακριβώς στο sqrt(n) * ln(n).
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
