Co je prvočíselná věta?
Zapište π(n) pro počet prvočísel do n. Prvočíselná věta říká, že π(n) roste jako n/ln(n). Jak n roste, je přibližně 1 z každých ln(n) čísel blízko n prvočíslo. Blízko jednoho milionu je zhruba 1 z 14 čísel prvočíslo. Blízko jedné miliardy 1 z 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Gauss odhadl výsledek kolem roku 1800 po studiu tabulek prvočísel. Byl nezávisle dokázán v roce 1896 Jacquesem Hadamardem a Charles-Jeanem de la Vallée Poussinem, oba pomocí Riemannovy zeta-funkce a komplexní analýzy. Čistě elementární důkaz (bez komplexní analýzy) byl nezávisle nalezen Selbergem a Erdősem v roce 1948.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
Riemannova hypotéza by dala nejostřejší odhad chyby: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Bez ní známe pouze, že chyba je o(n/ln(n)). Proto je Riemannova hypotéza nejdůležitějším otevřeným problémem matematiky: řekla by nám přesně, jak předvídatelné jsou mezery mezi prvočísly.
Přesnější aproximaci pi(n) než n/ln(n) je logaritmický integrál Li(n) = integrál od 2 do n z dt/ln(t). Gauss preferoval tuto formu. Pro n = 1,000,000: n/ln(n) dává 72,382 zatímco Li(n) dává 78,628, versus přesný počet 78,498. Chyba Li(n) je daleko menší. Riemannova hypotéza by tuto chybu přesně ohraničila na sqrt(n) * ln(n).
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
