ما هي مبرهنة الأعداد الأولية؟
نرمز بـ π(n) لعدد الأعداد الأولية حتى n. تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن π(n) ينمو مثل n/ln(n). كلما كبر n، فإن حوالي 1 من كل ln(n) عدد بالقرب من n يكون أوليًا. بالقرب من المليون، تقريبًا 1 من كل 14 عددًا أولي. بالقرب من المليار، 1 من كل 21.
π(n) يعدّ الأعداد الأولية حتى n (الدرج الأزرق). مبرهنة الأعداد الأولية تقول π(n) ~ n/ln(n) – النسبة → 1 عندما n → ∞. التكامل اللوغاريتمي Li(n) أقرب حتى.
خمّن غاوس هذه النتيجة حوالي عام 1800 بعد دراسة جداول الأعداد الأولية. أُثبتت بشكل مستقل عام 1896 بواسطة جاك هادامار وشارل-جان دي لا فاليه بوسان، وكلاهما استخدم دالة زيتا لريمان والتحليل المركب. عُثر على برهان أولي بحت (بدون تحليل مركب) بشكل مستقل بواسطة سلبرغ وإردوش عام 1948.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
فرضية ريمان ستعطي أدق حد للخطأ: |π(n) − Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). بدونها، لا نعرف سوى أن الخطأ هو o(n/ln(n)). هذا هو السبب في أن فرضية ريمان هي أهم مسألة مفتوحة في الرياضيات: ستخبرنا بالضبط عن مدى قابلية التنبؤ بفجوات الأعداد الأولية.
تقريب أدق لـ π(n) من n/ln(n) هو التكامل اللوغاريتمي Li(n) = التكامل من 2 إلى n لـ dt/ln(t). فضّل غاوس هذا الشكل. عند n = 1,000,000: n/ln(n) يعطي 72,382 بينما Li(n) يعطي 78,628، مقابل العدد الدقيق 78,498. خطأ Li(n) أصغر بكثير. فرضية ريمان ستحدّ هذا الخطأ بدقة عند √n · ln(n).
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.
