अभाज्य संख्या प्रमेय क्या है?
π(n) को n तक की अभाज्य संख्याओं की संख्या मानें। अभाज्य संख्या प्रमेय कहता है कि π(n), n/ln(n) की तरह बढ़ता है। जैसे-जैसे n बड़ा होता है, n के आस-पास लगभग हर ln(n) संख्याओं में से 1 संख्या अभाज्य होती है। दस लाख के पास लगभग हर 14 संख्याओं में 1 अभाज्य है। एक अरब के पास लगभग हर 21 में 1।
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
गाउस ने लगभग 1800 में अभाज्य संख्याओं की सारणियाँ देखकर इस परिणाम का अनुमान लगाया। 1896 में जैक हदामार और शार्ल-जाँ दे ला वाले-पुसाँ ने इसे स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया; दोनों ने रीमान जेटा फलन और समिश्र विश्लेषण का उपयोग किया। एक "प्राथमिक" प्रमाण (बिना समिश्र विश्लेषण के) 1948 में सेलबर्ग और एर्डोश ने स्वतंत्र रूप से खोजा।
| Bis n | Primzahlen π(n) | Dichte ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 von 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 von 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 von 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 von 28 |
रीमान परिकल्पना त्रुटि के लिए सबसे तीखी सीमा देगी: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π)। इसके बिना हम केवल इतना जानते हैं कि त्रुटि o(n/ln(n)) है। इसी कारण रीमान परिकल्पना गणित का सबसे महत्वपूर्ण खुला प्रश्न मानी जाती है: यह बताएगी कि अभाज्यों के बीच के अंतराल कितने पूर्वानुमेय हैं।
π(n) के लिए n/ln(n) से अधिक सटीक सन्निकटन लघुगणकीय समाकल Li(n) है, जहाँ Li(n) = 2 से n तक dt/ln(t) का समाकल है। गाउस इस रूप को अधिक पसंद करते थे। n = 1,000,000 पर n/ln(n) का मान 72,382 मिलता है, जबकि Li(n) 78,628 देता है, और वास्तविक गिनती 78,498 है। Li(n) की त्रुटि बहुत छोटी होती है। रीमान परिकल्पना इस त्रुटि को ठीक-ठीक sqrt(n) * ln(n) से सीमित कर देगी।
Pi
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