Ce este teorema numerelor prime?
Notează π(n) pentru numărul de numere prime până la n. Teorema numerelor prime spune că π(n) crește precum n/ln(n). Pe măsură ce n devine mai mare, aproximativ 1 din fiecare ln(n) numere de lângă n este prim. Aproape de un milion, aproximativ 1 din 14 numere este prim. Aproape de un miliard, 1 din 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Gauss a conjecturat rezultatul în jurul anului 1800 după ce a studiat tabele de numere prime. A fost demonstrat independent în 1896 de Jacques Hadamard și Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambii folosind funcția zeta a lui Riemann și analiza complexă. O demonstrație pur elementară (fără analiză complexă) a fost găsită independent de Selberg și Erdős în 1948.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
Ipoteza lui Riemann ar da cea mai precisă limită a erorii: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Fără ea, știm doar că eroarea este o(n/ln(n)). Acesta este motivul pentru care ipoteza lui Riemann este cea mai importantă problemă deschisă a matematicii: ne-ar spune exact cât de previzibile sunt intervalele dintre numerele prime.
O aproximare mai precisă a lui pi(n) decât n/ln(n) este integrala logaritmică Li(n) = integrala de la 2 la n din dt/ln(t). Gauss prefera această formă. Pentru n = 1,000,000: n/ln(n) dă 72,382 în timp ce Li(n) dă 78,628, față de numărul exact de 78,498. Eroarea lui Li(n) este mult mai mică. Ipoteza lui Riemann ar limita această eroare precis la sqrt(n) * ln(n).
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.
