Apa itu Teorema Bilangan Prima?
Tuliskan π(n) untuk banyaknya bilangan prima hingga n. Teorema Bilangan Prima menyatakan bahwa π(n) tumbuh seperti n/ln(n). Saat n makin besar, kira-kira 1 dari setiap ln(n) bilangan di sekitar n adalah prima. Di sekitar satu juta, kira-kira 1 dari 14 bilangan adalah prima. Di sekitar satu miliar, kira-kira 1 dari 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Gauss menduga hasil ini sekitar tahun 1800 setelah mempelajari tabel bilangan prima. Teorema ini dibuktikan secara independen pada 1896 oleh Jacques Hadamard dan Charles-Jean de la Vallée Poussin, keduanya menggunakan fungsi zeta Riemann dan analisis kompleks. Bukti yang benar-benar elementer, tanpa analisis kompleks, ditemukan secara independen oleh Selberg dan Erdős pada 1948.
| Bis n | Primzahlen π(n) | Dichte ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 von 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 von 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 von 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 von 28 |
Hipotesis Riemann akan memberi batas galat yang paling tajam: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Tanpanya, kita hanya tahu bahwa galatnya adalah o(n/ln(n)). Itulah sebabnya Hipotesis Riemann dianggap masalah terbuka terpenting dalam matematika: ia akan memberi tahu kita seberapa dapat diprediksinya celah antarprima.
Aproksimasi yang lebih akurat untuk π(n) daripada n/ln(n) adalah integral logaritmik Li(n) = integral dari 2 hingga n atas dt/ln(t). Gauss lebih menyukai bentuk ini. Untuk n = 1.000.000: n/ln(n) memberi 72.382, sedangkan Li(n) memberi 78.628, dibanding jumlah tepat 78.498. Galat Li(n) jauh lebih kecil. Hipotesis Riemann akan membatasi galat ini secara tepat sebesar sqrt(n) * ln(n).
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.
