ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะคืออะไร?
เขียน π(n) แทนจำนวนของจำนวนเฉพาะจนถึง n ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า π(n) เติบโตแบบ n/ln(n) เมื่อ n ใหญ่ขึ้น ประมาณ 1 ในทุก ๆ ln(n) จำนวนใกล้ ๆ n เป็นจำนวนเฉพาะ ใกล้หนึ่งล้าน ราว 1 ใน 14 จำนวนเป็นจำนวนเฉพาะ ใกล้หนึ่งพันล้าน 1 ใน 21
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
เกาส์ตั้งข้อสันนิษฐานผลลัพธ์นี้ราวปี 1800 หลังจากศึกษาตารางจำนวนเฉพาะ มันได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นอิสระในปี 1896 โดย Jacques Hadamard และ Charles-Jean de la Vallée Poussin ทั้งคู่ใช้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และการวิเคราะห์เชิงซ้อน บทพิสูจน์เชิงพื้นฐานล้วน ๆ (ไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อน) ถูกค้นพบอย่างเป็นอิสระโดย Selberg และ Erdős ในปี 1948
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
สมมติฐานของรีมันน์จะให้ขอบเขตที่คมชัดที่สุดของความคลาดเคลื่อน: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π) หากไม่มีมัน เรารู้เพียงว่าความคลาดเคลื่อนเป็น o(n/ln(n)) นี่คือเหตุผลที่สมมติฐานของรีมันน์เป็นปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์: มันจะบอกเราอย่างแม่นยำว่าช่องว่างจำนวนเฉพาะคาดเดาได้เพียงใด
การประมาณ pi(n) ที่แม่นยำกว่า n/ln(n) คือปริพันธ์ลอการิทึม Li(n) = ปริพันธ์จาก 2 ถึง n ของ dt/ln(t) เกาส์ชอบรูปแบบนี้ สำหรับ n = 1,000,000: n/ln(n) ให้ 72,382 ในขณะที่ Li(n) ให้ 78,628 เทียบกับจำนวนที่แท้จริง 78,498 ความคลาดเคลื่อนของ Li(n) เล็กกว่ามาก สมมติฐานของรีมันน์จะกำหนดขอบเขตความคลาดเคลื่อนนี้อย่างแม่นยำที่ sqrt(n) * ln(n)
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
