Co je Taylorova řada?
Taylorova řada vyjadřuje jakoukoli hladkou funkci jako nekonečný polynom. Každý koeficient je derivace: n-tý člen je f⁽ⁿ⁾(a)/n! krát (x-a)ⁿ. Pro dobře se chovající funkce jako eˣ, sin(x) a cos(x) řada konverguje k přesné hodnotě funkce všude.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Tři nejdůležitější Maclaurinovy řady: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (konverguje všude); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (konverguje všude); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (konverguje všude). Dosazením x = iπ do řady eˣ získáme Eulerovu identitu.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor uvedl obecnou větu v roce 1715; speciální případ středěný v 0 popularizoval Colin Maclaurin v roce 1742. Každá kalkulačka a počítač používá Taylorovy řady k výpočtu transcendentních funkcí. Chyba po nčlenech je omezená Lagrangeovým zbytkem: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Taylorova řada představuje hladkou funkci jako nekonečný polynom: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Koeficienty jsou derivace v prostředním bodě a. Maclaurinovy řady jsou středěny v 0. Tři klíčové řady konvergují všude: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Dosazením x = i*pi do řady e^x dokazujeme Eulerovu identitu. Každá kalkulačka používá Taylorovy řady interně k výpočtu transcendentních funkcí.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
