Τι είναι η σειρά Taylor;
Η σειρά Taylor εκφράζει οποιαδήποτε λεία συνάρτηση ως άπειρο πολυώνυμο. Κάθε συντελεστής είναι μια παράγωγος: ο ν-οστός όρος είναι f⁽ⁿ⁾(a)/n! επί (x-a)ⁿ. Για συναρτήσεις με καλή συμπεριφορά όπως οι eˣ, sin(x) και cos(x), η σειρά συγκλίνει στην ακριβή τιμή της συνάρτησης παντού.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Οι τρεις σημαντικότερες σειρές Maclaurin: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (συγκλίνει παντού)· sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (συγκλίνει παντού)· cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (συγκλίνει παντού). Αντικαθιστώντας x = iπ στη σειρά του eˣ προκύπτει η ταυτότητα του Euler.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Ο Brook Taylor διατύπωσε το γενικό θεώρημα το 1715· η ειδική περίπτωση με κέντρο το 0 διαδόθηκε από τον Colin Maclaurin το 1742. Κάθε αριθμομηχανή και υπολογιστής χρησιμοποιεί σειρές Taylor για να υπολογίσει υπερβατικές συναρτήσεις. Το σφάλμα μετά από n όρους φράσσεται από το υπόλοιπο Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Μια σειρά Taylor αναπαριστά μια λεία συνάρτηση ως άπειρο πολυώνυμο: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Οι συντελεστές είναι παράγωγοι στο κεντρικό σημείο a. Οι σειρές Maclaurin έχουν κέντρο το 0. Οι τρεις βασικές σειρές συγκλίνουν παντού: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Αντικαθιστώντας x = i*pi στη σειρά του e^x αποδεικνύεται η ταυτότητα του Euler. Κάθε αριθμομηχανή χρησιμοποιεί εσωτερικά σειρές Taylor για να υπολογίσει υπερβατικές συναρτήσεις.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
