Apa itu Deret Taylor?
Deret Taylor menuliskan fungsi halus apa pun sebagai polinom tak hingga. Setiap koefisiennya adalah turunan: suku ke-n berbentuk f⁽ⁿ⁾(a)/n! dikali (x-a)ⁿ. Untuk fungsi yang berperilaku baik seperti eˣ, sin(x), dan cos(x), deret ini konvergen ke nilai fungsi yang tepat.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Tiga deret Maclaurin terpenting: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (konvergen di mana-mana); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (konvergen di mana-mana); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (konvergen di mana-mana). Jika x = iπ disubstitusikan ke deret eˣ, kita memperoleh identitas Euler.
| f(x) | Reihe | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor menyatakan teorema umumnya pada 1715; kasus khusus yang berpusat di 0 dipopulerkan oleh Colin Maclaurin pada 1742. Setiap kalkulator dan komputer menggunakan deret Taylor untuk mengevaluasi fungsi-fungsi transendental. Galat setelah n suku dibatasi oleh sisa Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Deret Taylor merepresentasikan fungsi halus sebagai polinom tak hingga: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Koefisiennya adalah turunan di titik pusat a. Deret Maclaurin adalah kasus dengan pusat di 0. Tiga deret utama konvergen di mana-mana: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Menyubstitusikan x = i*pi ke deret e^x membuktikan identitas Euler. Semua kalkulator menggunakan deret Taylor secara internal untuk mengevaluasi fungsi transendental.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.
