Що таке ряд Тейлора?
Ряд Тейлора виражає будь-яку гладку функцію як нескінченний многочлен. Кожен коефіцієнт - це похідна: n-й член дорівнює f⁽ⁿ⁾(a)/n!, помноженому на (x-a)ⁿ. Для добре поведених функцій, як-от eˣ, sin(x) та cos(x), ряд збігається до точного значення функції всюди.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Три найважливіші ряди Маклорена: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (збігається всюди); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (збігається всюди); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (збігається всюди). Підстановка x = iπ у ряд eˣ дає тотожність Ейлера.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Брук Тейлор сформулював загальну теорему 1715 року; окремий випадок із центром у 0 популяризував Колін Маклорен 1742 року. Кожен калькулятор і комп'ютер використовує ряди Тейлора для обчислення трансцендентних функцій. Похибка після n членів обмежена залишковим членом Лагранжа: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Ряд Тейлора подає гладку функцію як нескінченний многочлен: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Коефіцієнти - це похідні в центральній точці a. Ряди Маклорена центровані в 0. Три ключові ряди збігаються всюди: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Підстановка x = i*pi у ряд e^x доводить тотожність Ейлера. Кожен калькулятор внутрішньо використовує ряди Тейлора для обчислення трансцендентних функцій.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
