מהו טור טיילור?
טור טיילור מבטא כל פונקציה חלקה כפולינום אינסופי. כל מקדם הוא נגזרת: האיבר ה-n הוא f⁽ⁿ⁾(a)/n! כפול (x-a)ⁿ. עבור פונקציות מתנהגות יפה כמו eˣ, sin(x) ו-cos(x), הטור מתכנס לערך הפונקציה המדויק בכל מקום.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
שלושת טורי מקלורן החשובים ביותר: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (מתכנס בכל מקום); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (מתכנס בכל מקום); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (מתכנס בכל מקום). הצבת x = iπ בטור eˣ מייצרת את הזהות של אוילר.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
ברוק טיילור ניסח את המשפט הכללי ב-1715; המקרה המיוחד הממורכז ב-0 פופולר על ידי קולין מקלורן ב-1742. כל מחשבון ומחשב משתמשים בטור טיילור כדי לחשב פונקציות טרנסצנדנטיות. השגיאה לאחר n איברים חסומה על ידי שארית לגראנז': |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
טור טיילור מייצג פונקציה חלקה כפולינום אינסופי: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... המקדמים הם נגזרות בנקודת המרכז a. טורי מקלורן ממורכזים ב-0. שלושת הטורים המרכזיים מתכנסים בכל מקום: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... הצבת x = i*pi בטור e^x מוכיחה את הזהות של אוילר. כל מחשבון משתמש בטור טיילור באופן פנימי כדי לחשב פונקציות טרנסצנדנטיות.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
