Ce este seria Taylor?
Seria Taylor exprimă orice funcție netedă ca un polinom infinit. Fiecare coeficient este o derivată: al n-lea termen este f⁽ⁿ⁾(a)/n! înmulțit cu (x-a)ⁿ. Pentru funcții cuminți precum eˣ, sin(x) și cos(x), seria converge către valoarea exactă a funcției peste tot.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Cele trei serii Maclaurin cele mai importante: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (converge peste tot); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (converge peste tot); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (converge peste tot). Substituind x = iπ în seria eˣ produce identitatea lui Euler.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor a enunțat teorema generală în 1715; cazul special centrat în 0 a fost popularizat de Colin Maclaurin în 1742. Fiecare calculator și computer folosește seria Taylor pentru a evalua funcțiile transcendente. Eroarea după n termeni este mărginită de restul Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
O serie Taylor reprezintă o funcție netedă ca un polinom infinit: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Coeficienții sunt derivate în punctul central a. Seriile Maclaurin sunt centrate în 0. Cele trei serii cheie converg peste tot: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Substituind x = i*pi în seria e^x demonstrează identitatea lui Euler. Fiecare calculator folosește intern seria Taylor pentru a evalua funcțiile transcendente.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.
