Taylor Serisi nedir?
Taylor serisi, herhangi bir düzgün fonksiyonu sonsuz bir polinom olarak ifade eder. Her katsayı bir türevdir: n. terim, (x-a)ⁿ çarpı f⁽ⁿ⁾(a)/n!'dir. eˣ, sin(x) ve cos(x) gibi iyi davranan fonksiyonlar için seri, her yerde tam fonksiyon değerine yakınsar.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
En önemli üç Maclaurin serisi: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (her yerde yakınsar); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (her yerde yakınsar); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (her yerde yakınsar). eˣ serisinde x = iπ yerine koymak Euler'in özdeşliğini üretir.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor genel teoremi 1715'te belirtti; 0'da merkezlenen özel durum Colin Maclaurin tarafından 1742'de yaygınlaştırıldı. Her hesap makinesi ve bilgisayar, transandantal fonksiyonları değerlendirmek için Taylor serisini kullanır. n terimden sonraki hata, Lagrange kalanı ile sınırlıdır: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Taylor serisi, düzgün bir fonksiyonu sonsuz bir polinom olarak temsil eder: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Katsayılar, a merkez noktasındaki türevlerdir. Maclaurin serileri 0'da merkezlenir. Üç temel seri her yerde yakınsar: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... e^x serisinde x = i*pi yerine koymak Euler'in özdeşliğini kanıtlar. Her hesap makinesi, transandantal fonksiyonları değerlendirmek için içsel olarak Taylor serisini kullanır.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Şimdi oyna - ücretsizHesap gerekmez. Her cihazda çalışır.
