อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร?
อนุกรมเทย์เลอร์แสดงฟังก์ชันเรียบใด ๆ เป็นพหุนามอนันต์ แต่ละสัมประสิทธิ์เป็นอนุพันธ์: พจน์ที่ n คือ f⁽ⁿ⁾(a)/n! คูณ (x-a)ⁿ สำหรับฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมดีอย่าง eˣ, sin(x), และ cos(x) อนุกรมลู่เข้าสู่ค่าฟังก์ชันที่แน่นอนทุกที่
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
อนุกรมแมคลอรินที่สำคัญที่สุดสามตัว: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (ลู่เข้าทุกที่); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (ลู่เข้าทุกที่); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (ลู่เข้าทุกที่) การแทน x = iπ ในอนุกรม eˣ ให้เอกลักษณ์ของออยเลอร์
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor ระบุทฤษฎีบททั่วไปในปี 1715 กรณีพิเศษที่มีศูนย์กลางที่ 0 ได้รับการทำให้เป็นที่นิยมโดย Colin Maclaurin ในปี 1742 เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องใช้อนุกรมเทย์เลอร์เพื่อประเมินฟังก์ชันอดิศัย ความคลาดเคลื่อนหลังจาก n พจน์ถูกกำหนดขอบเขตด้วยเศษเหลือลากรองจ์: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
อนุกรมเทย์เลอร์แสดงฟังก์ชันเรียบเป็นพหุนามอนันต์: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... สัมประสิทธิ์เป็นอนุพันธ์ที่จุดศูนย์กลาง a อนุกรมแมคลอรินมีศูนย์กลางที่ 0 อนุกรมสำคัญสามตัวลู่เข้าทุกที่: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... การแทน x = i*pi ในอนุกรม e^x พิสูจน์เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เครื่องคิดเลขทุกเครื่องใช้อนุกรมเทย์เลอร์ภายในเพื่อประเมินฟังก์ชันอดิศัย
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
