Cos'è la serie di Taylor?
La serie di Taylor esprime qualsiasi funzione regolare come un polinomio infinito. Ogni coefficiente è una derivata: l'n-esimo termine è f⁽ⁿ⁾(a)/n! per (x-a)ⁿ. Per funzioni ben comportate come eˣ, sin(x) e cos(x), la serie converge al valore esatto della funzione ovunque.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Le tre serie di Maclaurin più importanti: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (converge ovunque); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (converge ovunque); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (converge ovunque). Sostituendo x = iπ nella serie di eˣ si ottiene l'identità di Eulero.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor enunciò il teorema generale nel 1715; il caso particolare centrato in 0 fu popolarizzato da Colin Maclaurin nel 1742. Ogni calcolatrice e computer usa le serie di Taylor per valutare le funzioni trascendenti. L'errore dopo n termini è limitato dal resto di Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Una serie di Taylor rappresenta una funzione regolare come un polinomio infinito: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... I coefficienti sono le derivate nel punto centrale a. Le serie di Maclaurin sono centrate in 0. Le tre serie chiave convergono ovunque: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Sostituendo x = i*pi nella serie di e^x si dimostra l'identità di Eulero. Ogni calcolatrice usa le serie di Taylor internamente per valutare le funzioni trascendenti.
Pi
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