Christoffer De Geer 20 Μαρτίου 2026

Τι είναι η σταθερά Meissel-Mertens;

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Meissel και Mertens, 1874.

Αθροίστε τους αντιστρόφους όλων των πρώτων μέχρι το n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Αυτό αυξάνεται, αλλά εξαιρετικά αργά: ως ln(ln(n)). Η σταθερά Meissel-Mertens M είναι το ακριβές χάσμα μεταξύ αυτού του αθροίσματος και του κυρίαρχου όρου του, ακριβώς όπως η σταθερά Euler-Mascheroni γ είναι το χάσμα μεταξύ της αρμονικής σειράς και του ln(n).

Prime reciprocal sum grows like ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

Ο Euler απέδειξε το 1737 ότι το άθροισμα όλων των αντιστρόφων των πρώτων αποκλίνει. Αυτό είναι πολύ δυσκολότερο από την απόδειξη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι, και δίνει μια ποσοτική αίσθηση του πόσο πυκνοί είναι οι πρώτοι. Το θεώρημα του Mertens λέει στη συνέχεια ότι Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), δίνοντας το M ως τον ακριβή σταθερό όρο.

M vs γ: two gap constants

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0.5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615
All integers	Primes only

Τα M και γ συνδέονται με τη σχέση M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Το αν κάποια από τις δύο σταθερές είναι άρρητη είναι άγνωστο. Και οι δύο έχουν υπολογιστεί σε δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία και πιστεύεται ότι είναι υπερβατικές, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη για καμία. M: 0.261497212847642783755426838608669…

Σταθερά Euler-Mascheroni → Πρώτοι αριθμοί → Θεώρημα πρώτων αριθμών → Αρμονική σειρά →

Harmonic sum vs prime reciprocal sum: both diverge, at very different rates

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

Αναλογία με τη σταθερά Euler-Mascheroni

Η σταθερά Euler-Mascheroni gamma μετρά το χάσμα μεταξύ της αρμονικής σειράς (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) και του ln(n). Η σταθερά Meissel-Mertens M παίζει τον ίδιο ρόλο για το άθροισμα των αντιστρόφων των πρώτων (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) έναντι του ln(ln(n)). Και οι δύο είναι οι σταθερές «διόρθωσης σφάλματος» για αποκλίνουσες σειρές που αυξάνονται λογαριθμικά.

Βασικά στοιχεία για τη σταθερά Meissel-Mertens

Η σταθερά Meissel-Mertens M ≈ 0.26149 παίζει τον ίδιο ρόλο για τους αντιστρόφους των πρώτων που παίζει η σταθερά Euler-Mascheroni για την αρμονική σειρά. Ο Mertens απέδειξε το 1874 ότι 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + μικρό σφάλμα. Το αν το M είναι άρρητο είναι άγνωστο. Εμφανίζεται στο θεώρημα του Mertens για τα γινόμενα πρώτων και στην πυκνότητα των ομαλών αριθμών. Τα M και gamma συνδέονται με ένα συγκεκριμένο άθροισμα πάνω σε όλους τους πρώτους.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Πώς συνδέονται το M και η σταθερά Euler-Mascheroni γ;

tap · space

1 / 10

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.