Christoffer De Geer 20 mars 2026

Vad är Meissel–Mertens konstant?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0,26149721284764278375. Meissel och Mertens, 1874.

Summera reciprokerna av alla primtal upp till n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Det växer, men enastående långsamt: som ln(ln(n)). Meissel–Mertens konstant M är det precisa gapet mellan denna summa och dess dominerande term, precis som Euler–Mascheroni-konstanten γ är gapet mellan den harmoniska serien och ln(n).

Primtals-reciproksumma vaxer som ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

Euler bevisade 1737 att summan av alla primtals reciproker divergerar. Det är mycket svårare än att bevisa att det finns oändligt många primtal och ger en kvantitativ känsla av hur tätt primtalen sitter. Mertens sats säger sedan Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), vilket ger M som den precisa konstanttermen.

M mot γ: två gapkonstanter

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0.5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615
All integers	Primes only

M och γ är relaterade via M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Om någon av konstanterna är irrationell är okänt. Båda är beräknade till miljarder decimaler och antas vara transcendenta, men inget bevis finns för någondera. M: 0,261497212847642783755426838608669…

Euler-Mascheroni-konstanten γ → Primtal → Primtalssatsen → Harmoniska serien →

Harmonisk summa vs primtals-reciproksumma: bada divergerar, i olika takt

Harmonisk summa: 2,93, 5,19, 7,49, 9,79. Primtals-reciproksumma vaxer som ln(ln(n))+M: bara 0,84, 1,18, 1,52, 1,85.

Analogin med Euler–Mascheroni-konstanten

Euler–Mascheroni-konstanten gamma mäter gapet mellan den harmoniska serien (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) och ln(n). Meissel–Mertens konstant M spelar samma roll för summan av primtalsreciproker (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) kontra ln(ln(n)). Båda är "felkorrigerings"-konstanterna för divergenta serier som växer logaritmiskt.

Viktiga fakta om Meissel–Mertens konstant

Meissel–Mertens konstant M ≈ 0,26149 spelar samma roll för primtalsreciproker som Euler–Mascheroni-konstanten spelar för den harmoniska serien. Mertens bevisade 1874 att 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + litet fel. Om M är irrationell är okänt. Den förekommer i Mertens sats om primtalsprodukter och i tätheten av jämna tal. M och gamma är relaterade via en specifik summa över alla primtal.

Används inom

∑Matematik

✓

⚛Fysik

–

⚙Teknik

–

🧬Biologi

–

💻Datavetenskap

✓

📊Statistik

–

📈Finans

–

🎨Konst

–

🏛Arkitektur

–

♪Musik

–

🔐Kryptografi

–

🌌Astronomi

–

⚗Kemi

–

🦉Filosofi

–

🗺Geografi

–

🌿Ekologi

–

Vill du testa dina kunskaper?

Fråga

What is the numerical value of M?

tryck · mellanslag

1 / 10

Redo att spela?

Pi

Memorera pi, e och 38 matematiska konstanter med metoden för numerisk knappsats

Spela nu - det är gratis

Inget konto behövs. Fungerar på alla enheter.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.