Christoffer De Geer 20 березня 2026 р.

Що таке стала Мейселя-Мертенса?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Мейсель і Мертенс, 1874.

Підсумуйте обернені до всіх простих чисел до n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Це зростає, але надзвичайно повільно: як ln(ln(n)). Стала Мейселя-Мертенса M - це точна різниця між цією сумою та її домінантним членом, так само як стала Ейлера-Маскероні γ є різницею між гармонічним рядом і ln(n).

Prime reciprocal sum grows like ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

Ейлер довів 1737 року, що сума обернених до всіх простих чисел розбігається. Це набагато складніше, ніж довести, що простих чисел нескінченно багато, і дає кількісне відчуття того, наскільки густі прості числа. Теорема Мертенса тоді стверджує Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), даючи M як точний сталий член.

M vs γ: two gap constants

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0.5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615
All integers	Primes only

M та γ пов'язані формулою M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Чи ірраціональна якась із цих сталих, невідомо. Обидві обчислено до мільярдів десяткових знаків і вважають трансцендентними, але доведення немає для жодної з них. M: 0.261497212847642783755426838608669…

Стала Ейлера-Маскероні → Прості числа → Теорема про розподіл простих чисел → Гармонічний ряд →

Harmonic sum vs prime reciprocal sum: both diverge, at very different rates

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

Аналогія зі сталою Ейлера-Маскероні

Стала Ейлера-Маскероні gamma вимірює різницю між гармонічним рядом (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) і ln(n). Стала Мейселя-Мертенса M відіграє ту саму роль для суми обернених до простих чисел (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) проти ln(ln(n)). Обидві є сталими "корекції похибки" для розбіжних рядів, що зростають логарифмічно.

Ключові факти про сталу Мейселя-Мертенса

Стала Мейселя-Мертенса M ≈ 0.26149 відіграє ту саму роль для обернених до простих чисел, що й стала Ейлера-Маскероні для гармонічного ряду. Мертенс довів 1874 року, що 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + мала похибка. Чи ірраціональна M, невідомо. Вона з'являється в теоремі Мертенса про добутки простих чисел і в густині гладких чисел. M та gamma пов'язані конкретною сумою за всіма простими числами.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Як швидко зростає сума обернених простих?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.