Cos'è la costante di Meissel-Mertens?
Sommate gli inversi di tutti i numeri primi fino a n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Questa cresce, ma in modo straordinariamente lento: come ln(ln(n)). La costante di Meissel-Mertens M è il divario preciso tra questa somma e il suo termine dominante, proprio come la costante di Euler-Mascheroni γ è il divario tra la serie armonica e ln(n).
Euler dimostrò nel 1737 che la somma degli inversi di tutti i numeri primi diverge. Questo è molto più difficile che dimostrare che esistono infiniti numeri primi, e dà un senso quantitativo di quanto siano densi i numeri primi. Il teorema di Mertens afferma allora che Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), dando M come termine costante preciso.
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M e γ sono legati da M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Se una delle due costanti sia irrazionale è sconosciuto. Entrambe sono state calcolate fino a miliardi di cifre decimali e si ritiene siano trascendenti, ma non esiste una dimostrazione per nessuna delle due. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.
La costante di Euler-Mascheroni gamma misura il divario tra la serie armonica (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) e ln(n). La costante di Meissel-Mertens M svolge lo stesso ruolo per la somma degli inversi dei numeri primi (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) rispetto a ln(ln(n)). Entrambe sono le costanti di "correzione dell'errore" per serie divergenti che crescono logaritmicamente.
La costante di Meissel-Mertens M ≈ 0.26149 svolge lo stesso ruolo per gli inversi dei numeri primi che la costante di Euler-Mascheroni svolge per la serie armonica. Mertens dimostrò nel 1874 che 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + piccolo errore. Se M sia irrazionale è sconosciuto. Appare nel teorema di Mertens sui prodotti dei numeri primi e nella densità dei numeri lisci. M e gamma sono legati da una somma specifica su tutti i numeri primi.
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