Christoffer De Geer 20 मार्च 2026

माइज़ेल–मर्टेन्स नियतांक क्या है?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Meissel और Mertens, 1874.

n तक के सभी अभाज्यों के व्युत्क्रम जोड़ें: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. यह योग बढ़ता है, लेकिन अत्यंत धीमी गति से: ln(ln(n)) की तरह। माइज़ेल–मर्टेन्स नियतांक M इस योग और उसके प्रमुख पद के बीच का सटीक अंतर है, ठीक वैसे ही जैसे ऑयलर–माशेरोनी नियतांक γ हार्मोनिक श्रेणी और ln(n) के बीच का अंतर है।

अभाज्य व्युत्क्रम-योग ln(ln(n)) + M की तरह बढ़ता है

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

ऑयलर ने 1737 में सिद्ध किया कि सभी अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग अपसारी है। यह यह दिखाने से कहीं कठिन है कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, और इससे अभाज्यों की घनत्व के बारे में परिमाणात्मक समझ मिलती है। मर्टेन्स का प्रमेय फिर कहता है कि Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), जिससे M सटीक स्थिर पद बन जाता है।

M बनाम γ: दो gap constants

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0,5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615
alle ganzen Zahlen	nur Primzahlen

M और γ का संबंध M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p) से है। दोनों में से किसी के अपरिमेय होने का प्रमाण ज्ञात नहीं है। दोनों को अरबों दशमलव स्थानों तक निकाला गया है और दोनों के पारातीत होने का अनुमान है, लेकिन किसी के लिए भी प्रमाण नहीं है। M: 0.261497212847642783755426838608669…

ऑयलर–माशेरोनी नियतांक → अभाज्य संख्याएँ → अभाज्य संख्या प्रमेय → हार्मोनिक श्रेणी →

हार्मोनिक योग बनाम अभाज्य व्युत्क्रम-योग: दोनों अपसारी, पर बहुत अलग गति से

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

ऑयलर–माशेरोनी नियतांक से समानता

ऑयलर–माशेरोनी नियतांक gamma हार्मोनिक श्रेणी (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) और ln(n) के बीच का अंतर मापता है। माइज़ेल–मर्टेन्स नियतांक M, अभाज्य व्युत्क्रम-योग (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) और ln(ln(n)) के बीच बिल्कुल वही भूमिका निभाता है। दोनों उन अपसारी श्रेणियों के लिए "त्रुटि-संशोधन" नियतांक हैं जो लघुगणकीय रूप से बढ़ती हैं।

माइज़ेल–मर्टेन्स नियतांक के मुख्य तथ्य

माइज़ेल–मर्टेन्स नियतांक M ≈ 0.26149 अभाज्य व्युत्क्रम-योग के लिए वही भूमिका निभाता है जो हार्मोनिक श्रेणी के लिए ऑयलर–माशेरोनी नियतांक निभाता है। मर्टेन्स ने 1874 में सिद्ध किया कि 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + छोटी त्रुटि। M अपरिमेय है या नहीं, यह अज्ञात है। यह अभाज्य गुणनों पर मर्टेन्स के प्रमेय और smooth numbers के घनत्व में दिखाई देता है। M और gamma का संबंध सभी अभाज्यों पर एक विशेष योग से है।

उपयोग क्षेत्र

∑गणित

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⚛भौतिकी

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⚙अभियांत्रिकी

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🧬जीवविज्ञान

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💻कंप्यूटर विज्ञान

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📊सांख्यिकी

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📈वित्त

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🎨कला

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🏛वास्तुकला

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♪संगीत

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🔐क्रिप्टोग्राफ़ी

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🌌खगोलविज्ञान

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