מהו הקבוע של מייסל-מרטנס?
סכמו את הופכיי כל הראשוניים עד n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. הסכום גדל, אך באיטיות יוצאת דופן: כמו ln(ln(n)). הקבוע של מייסל-מרטנס M הוא הפער המדויק בין סכום זה לאיברו הדומיננטי, בדיוק כפי שהקבוע של אוילר-מסקרוני γ הוא הפער בין הטור ההרמוני לבין ln(n).
אוילר הוכיח ב-1737 שסכום כל הופכיי הראשוניים מתבדר. זה קשה בהרבה מהוכחה שיש אינסוף ראשוניים, ומעניק תחושה כמותית של כמה צפופים הראשוניים. משפט מרטנס אז אומר ש-Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), ונותן את M כאיבר הקבוע המדויק.
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M ו-γ קשורים על ידי M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). האם אחד הקבועים אי-רציונלי אינו ידוע. שניהם חושבו עד מיליארדי ספרות עשרוניות ונחשבים טרנסצנדנטיים, אך אין הוכחה לאף אחד מהם. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.
הקבוע של אוילר-מסקרוני גמא מודד את הפער בין הטור ההרמוני (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) לבין ln(n). הקבוע של מייסל-מרטנס M ממלא את אותו תפקיד עבור סכום הופכיי הראשוניים (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) מול ln(ln(n)). שניהם קבועי "תיקון השגיאה" עבור טורים מתבדרים הגדלים לוגריתמית.
הקבוע של מייסל-מרטנס M ≈ 0.26149 ממלא עבור הופכיי הראשוניים את אותו תפקיד שהקבוע של אוילר-מסקרוני ממלא עבור הטור ההרמוני. מרטנס הוכיח ב-1874 ש-1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + שגיאה קטנה. האם M אי-רציונלי אינו ידוע. הוא מופיע במשפט מרטנס על מכפלות ראשוניים ובצפיפות המספרים החלקים. M ו-גמא קשורים על ידי סכום מסוים על כל הראשוניים.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
