ค่าคงตัวไมส์เซล-เมอร์เทินส์คืออะไร?
บวกส่วนกลับของจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึง n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p ผลรวมนี้เติบโต แต่ช้าอย่างเหลือเชื่อ: แบบ ln(ln(n)) ค่าคงตัวไมส์เซล-เมอร์เทินส์ M คือช่องว่างที่แม่นยำระหว่างผลรวมนี้กับพจน์เด่นของมัน เช่นเดียวกับที่ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี γ คือช่องว่างระหว่างอนุกรมฮาร์มอนิกกับ ln(n)
ออยเลอร์พิสูจน์ในปี 1737 ว่าผลรวมของส่วนกลับจำนวนเฉพาะทั้งหมดลู่ออก สิ่งนี้ยากกว่าการพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่อย่างไม่จำกัดมาก และให้ความรู้สึกเชิงปริมาณว่าจำนวนเฉพาะหนาแน่นเพียงใด ทฤษฎีบทของเมอร์เทินส์จึงระบุว่า Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n) ให้ M เป็นพจน์คงที่ที่แม่นยำ
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M และ γ สัมพันธ์กันโดย M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p) คำถามว่าค่าคงตัวใดเป็นจำนวนอตรรกยะหรือไม่ยังไม่มีคำตอบ ทั้งสองค่าถูกคำนวณได้หลายพันล้านตำแหน่งทศนิยมและเชื่อกันว่าเป็นจำนวนอดิศัย แต่ไม่มีบทพิสูจน์สำหรับทั้งคู่ M: 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.
ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี gamma วัดช่องว่างระหว่างอนุกรมฮาร์มอนิก (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) กับ ln(n) ค่าคงตัวไมส์เซล-เมอร์เทินส์ M ทำหน้าที่เดียวกันสำหรับผลรวมของส่วนกลับจำนวนเฉพาะ (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) เทียบกับ ln(ln(n)) ทั้งสองเป็นค่าคงตัว "แก้ไขความคลาดเคลื่อน" สำหรับอนุกรมลู่ออกที่เติบโตแบบลอการิทึม
ค่าคงตัวไมส์เซล-เมอร์เทินส์ M ≈ 0.26149 ทำหน้าที่เดียวกันสำหรับส่วนกลับจำนวนเฉพาะกับที่ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนีทำให้กับอนุกรมฮาร์มอนิก Mertens พิสูจน์ในปี 1874 ว่า 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + ความคลาดเคลื่อนเล็กน้อย คำถามว่า M เป็นจำนวนอตรรกยะหรือไม่ยังไม่มีคำตอบ มันปรากฏในทฤษฎีบทเมอร์เทินส์ว่าด้วยผลคูณจำนวนเฉพาะและในความหนาแน่นของจำนวนที่เรียบ M และ gamma สัมพันธ์กันด้วยผลรวมเฉพาะเหนือจำนวนเฉพาะทั้งหมด
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
