Christoffer De Geer 20. března 2026

Co je Meisselova-Mertensova konstanta?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Meissel a Mertens, 1874.

Sečtěte reciprokční hodnoty všech prvočísel až do n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Toto roste, ale neuvěřitelně pomalu: jako ln(ln(n)). Meisselova-Mertensova konstanta M je přesná mezera mezi tímto součtem a jeho dominantním členem, stejako Eulerova-Mascheroniova konstanta γ je mezera mezi harmonickou řadou a ln(n).

Prime reciprocal sum grows like ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ - prime reciprocals grow far slower.

Euler dokázal v roce 1737, že součet všech reciprokčních hodnot prvočísel diverguje. Je to mnohem těžší než dokázat, že existuje nekonečně mnoho prvočísel, a dává kvantitativní představu o tom, jak hustá jsou prvočísla. Mertensova věta pak říká Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), čímž dává M jako přesný konstantní člen.

M vs γ: two gap constants

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0.5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615
All integers	Primes only

M a γ souvisejí vztahem M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Zda je kterákoliv z těchto konstant iracionální, je neznámé. Obě jsou vypočítány na miliardy desetinných míst a věří se, že jsou transcendentní, ale důkaz pro žádnou z nich neexistuje. M: 0.261497212847642783755426838608669…

Eulerova-Mascheroniova konstanta → Prvočísla → Věta o prvočíslech → Harmonická řada →

Harmonic sum vs prime reciprocal sum: both diverge, at very different rates

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

Analogie s Eulerovou-Mascheroniovou konstantou

Eulerova-Mascheroniova konstanta gamma měří mezeru mezi harmonickou řadou (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) a ln(n). Meisselova-Mertensova konstanta M hraje stejnou roli pro součet reciprokčních hodnot prvočísel (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) versus ln(ln(n)). Obě jsou konstantami "korekce chyby" pro divergentní řady, které rostou logaritmicky.

Klíčová fakta o Meisselově-Mertensově konstantě

Meisselova-Mertensova konstanta M ≈ 0.26149 hraje stejnou roli pro reciprokční hodnoty prvočísel jako Eulerova-Mascheroniova konstanta pro harmonickou řadu. Mertens dokázal v roce 1874, že 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + malá chyba. Zda je M iracionální, je neznámé. Objevuje se ve Mertensově větě o produktech prvočísel a v hustotě hladkých čísel. M a gamma souvisejí specifickým součtem přes všechna prvočísla.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Konverguje součet všech převrácených hodnot prvočísel?

tap · space

1 / 10

Připraveni hrát?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Hrát nyní - zdarma

Bez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.