Christoffer De Geer 20 martie 2026

Ce este constanta Meissel-Mertens?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Meissel și Mertens, 1874.

Adună inversele tuturor numerelor prime până la n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Aceasta crește, dar extraordinar de lent: ca ln(ln(n)). Constanta Meissel-Mertens M este diferența precisă dintre această sumă și termenul ei dominant, la fel cum constanta Euler-Mascheroni γ este diferența dintre seria armonică și ln(n).

Prime reciprocal sum grows like ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

Euler a demonstrat în 1737 că suma tuturor inverselor numerelor prime diverge. Acest lucru este mult mai greu decât a demonstra că există infinit de multe numere prime și dă un sens cantitativ pentru cât de dense sunt numerele prime. Teorema lui Mertens spune apoi că Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), dând M ca termenul constant precis.

M vs γ: two gap constants

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0.5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615
All integers	Primes only

M și γ sunt legate prin M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Dacă vreuna dintre constante este irațională este necunoscut. Ambele sunt calculate la miliarde de zecimale și se crede că sunt transcendente, dar nu există nicio demonstrație pentru niciuna. M: 0.261497212847642783755426838608669…

Constanta Euler-Mascheroni → Numere prime → Teorema numerelor prime → Seria armonică →

Harmonic sum vs prime reciprocal sum: both diverge, at very different rates

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

Analogie cu constanta Euler-Mascheroni

Constanta Euler-Mascheroni gamma măsoară diferența dintre seria armonică (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) și ln(n). Constanta Meissel-Mertens M joacă același rol pentru suma inverselor numerelor prime (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) față de ln(ln(n)). Ambele sunt constantele de "corecție a erorii" pentru serii divergente care cresc logaritmic.

Fapte cheie despre constanta Meissel-Mertens

Constanta Meissel-Mertens M ≈ 0.26149 joacă același rol pentru inversele numerelor prime ca și constanta Euler-Mascheroni pentru seria armonică. Mertens a demonstrat în 1874 că 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + eroare mică. Dacă M este irațional este necunoscut. Apare în teorema lui Mertens despre produsele de numere prime și în densitatea numerelor netede. M și gamma sunt legate printr-o sumă specifică peste toate numerele prime.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Care este valoarea numerică a lui M?

tap · space

1 / 10

Gata de joc?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Joacă acum - e gratis

Fără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.