Mi a De Moivre-tétel?
A De Moivre-tétel kimondja, hogy egy egységkörön lévő pont n-edik hatványra emelése egyszerűen n-szeresére szorozza a szögét. Ha a θ szögnél indulsz, és n-szer alkalmazod a műveletet, az nθ szögnél kötsz ki. Ez a komplex számok aritmetikájának geometriai lényege.
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
A tétel azonnal következik Euler képletéből, e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Mindkét oldalt n-edik hatványra emelve: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre 1707-ben fogalmazta meg eredményét, 41 évvel azelőtt, hogy Euler közzétette a képletet, ettől a bizonyítás inkább varázslatnak, mintsem mechanikának tűnik.
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
A De Moivre-tétel a kulcseszköz a komplex számok hatványainak és gyökeinek kiszámításához, a többszörös szög képleteinek levezetéséhez (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), és bármely komplex szám n darab egyenletesen elhelyezkedő n-edik gyökének megtalálásához. Összekapcsolja a komplex számok algebráját a forgatás geometriájával.
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
A De Moivre-tétel megmutatja, hogy a cos(n*theta) mindig felírható a cos(theta) polinomjaként. Ezek a Csebisev-polinomok T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Például cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, tehát T_2(x) = 2x^2 - 1. Megjelennek a numerikus analízisben, a szűrőtervezésben és az approximációelméletben.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
