ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์คืออะไร?
ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์กล่าวว่า การยกจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยขึ้นเป็นกำลังที่ n เพียงแค่คูณมุมของมันด้วย n หากคุณเริ่มที่มุม θ และทำการดำเนินการ n ครั้ง คุณจะสิ้นสุดที่มุม nθ นี่คือหัวใจเชิงเรขาคณิตของเลขคณิตจำนวนเชิงซ้อน
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
ทฤษฎีบทนี้ตามมาทันทีจากสูตรของออยเลอร์ e^(iθ) = cosθ + i sinθ เมื่อยกทั้งสองข้างขึ้นเป็นกำลัง n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ) เดอมัวฟร์ระบุผลลัพธ์ของเขาในปี 1707 ซึ่งเป็นเวลา 41 ปีก่อนที่ออยเลอร์จะตีพิมพ์สูตร ทำให้บทพิสูจน์ดูเหมือนเวทมนตร์มากกว่ากลไก
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์เป็นเครื่องมือสำคัญในการคำนวณกำลังและรากของจำนวนเชิงซ้อน, การหาสูตรมุมหลายเท่า (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), และการหาราก n ที่ n ที่ระยะห่างเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ มันเชื่อมโยงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนเข้ากับเรขาคณิตของการหมุน
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์แสดงว่า cos(n*theta) สามารถเขียนเป็นพหุนามใน cos(theta) ได้เสมอ พหุนามเหล่านี้คือพหุนามเชบีเชฟ T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta) ตัวอย่างเช่น cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1 ดังนั้น T_2(x) = 2x^2 - 1 พวกมันปรากฏในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข, การออกแบบตัวกรอง, และทฤษฎีการประมาณ
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
