מהו משפט דה מואבר?
משפט דה מואבר אומר שהעלאת נקודה על מעגל היחידה בחזקה n פשוט מכפילה את זוויתה ב-n. אם מתחילים בזווית θ ומפעילים את הפעולה n פעמים, מגיעים לזווית nθ. זהו הלב הגאומטרי של אריתמטיקת המספרים המרוכבים.
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
המשפט נובע מיד מנוסחת אוילר e^(iθ) = cosθ + i sinθ. בהעלאת שני האגפים בחזקה n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). דה מואבר ניסח את תוצאתו ב-1707, 41 שנים לפני שאוילר פרסם את הנוסחה, מה שגורם להוכחה להרגיש כמו קסם ולא כמו מכניקה.
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
משפט דה מואבר הוא הכלי המרכזי לחישוב חזקות ושורשים של מספרים מרוכבים, לגזירת נוסחאות זווית כפולה (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), ולמציאת n השורשים מסדר n הפזורים באופן שווה של כל מספר מרוכב. הוא מקשר את האלגברה של המספרים המרוכבים לגאומטריה של הסיבוב.
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
משפט דה מואבר מראה ש-cos(n*theta) ניתן תמיד לכתיבה כפולינום ב-cos(theta). אלה פולינומי צ'בישב T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). לדוגמה, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, ולכן T_2(x) = 2x^2 - 1. הם מופיעים באנליזה נומרית, בתכנון מסננים ובתורת הקירוב.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
