Що таке теорема Муавра?
Теорема Муавра стверджує, що піднесення точки на одиничному колі до n-го степеня просто множить її кут на n. Якщо ви починаєте з кута θ і застосовуєте операцію n разів, ви закінчуєте на куті nθ. Це геометрична серцевина арифметики комплексних чисел.
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
Теорема миттєво випливає з формули Ейлера e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Підносячи обидві частини до степеня n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). Муавр сформулював свій результат 1707 року, за 41 рік до того, як Ейлер опублікував формулу, що робить доведення схожим радше на магію, ніж на механіку.
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
Теорема Муавра - ключовий інструмент для обчислення степенів і коренів комплексних чисел, виведення формул кратних кутів (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) та знаходження n рівновіддалених коренів n-го степеня будь-якого комплексного числа. Вона пов'язує алгебру комплексних чисел із геометрією повороту.
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
Теорема Муавра показує, що cos(n*theta) завжди можна записати як многочлен від cos(theta). Це многочлени Чебишова T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Наприклад, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, тож T_2(x) = 2x^2 - 1. Вони з'являються в чисельному аналізі, проєктуванні фільтрів та теорії наближення.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
