द मोआवर का प्रमेय क्या है?
द मोआवर का प्रमेय कहता है कि इकाई वृत्त पर किसी बिंदु को nवीं घात पर ले जाने से उसका कोण केवल n गुना हो जाता है। यदि आप θ कोण से शुरू करें और इस क्रिया को n बार लागू करें, तो आप nθ कोण पर पहुँचते हैं। यही सम्मिश्र संख्या गणित का ज्यामितीय हृदय है।
इकाई वृत्त पर θ=40° से शुरुआत। वर्ग करने पर कोण 80° (हरा) हो जाता है। घन करने पर 120° (लाल)। बिंदु केवल घूमता है; मूल से उसकी दूरी 1 ही रहती है।
यह प्रमेय ऑयलर के सूत्र e^(iθ) = cosθ + i sinθ से तुरंत निकलता है। दोनों पक्षों को nवीं घात पर ले जाएँ: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ)। द मोआवर ने 1707 में यह परिणाम लिखा, ऑयलर द्वारा सूत्र प्रकाशित किए जाने से 41 वर्ष पहले, इसलिए आज इसका प्रमाण यांत्रिक से अधिक जादुई लगता है।
1 के छठे मूल इकाई वृत्त पर एक सम षट्भुज बनाते हैं। z^n = 1 के nवें मूल हमेशा एक नियमित n-भुज बनाते हैं, जिनके कोण 2πk/n = τk/n होते हैं।
द मोआवर का प्रमेय सम्मिश्र संख्याओं की घातें और मूल निकालने, बहु-कोण सूत्र प्राप्त करने (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), और किसी भी सम्मिश्र संख्या के n समान दूरी वाले nवें मूल खोजने का मुख्य औज़ार है। यह सम्मिश्र बीजगणित को घूर्णन की ज्यामिति से जोड़ता है।
जब आप दो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करते हैं, उनके कोण (arguments) जुड़ते हैं और उनके मानांक गुणा होते हैं। यदि दोनों इकाई वृत्त पर हों (मानांक 1), तो केवल कोण बदलते हैं। n बार गुणा करने पर कोण n बार जुड़ता है: यही द मोआवर का प्रमेय है।
द मोआवर का प्रमेय दिखाता है कि cos(n*theta) को हमेशा cos(theta) के एक बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है। इन्हें चेबिशेव बहुपद T_n कहते हैं: T_n(cos theta) = cos(n*theta). उदाहरण के लिए, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, इसलिए T_2(x) = 2x^2 - 1. ये संख्यात्मक विश्लेषण, फ़िल्टर डिज़ाइन और सन्निकटन सिद्धांत में आते हैं।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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