Ce este teorema lui De Moivre?
Teorema lui De Moivre spune că ridicarea unui punct de pe cercul unitate la puterea n îi înmulțește pur și simplu unghiul cu n. Dacă pornești de la unghiul θ și aplici operația de n ori, ajungi la unghiul nθ. Acesta este inima geometrică a aritmeticii numerelor complexe.
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
Teorema decurge instantaneu din formula lui Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Ridicând ambele părți la puterea n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre a enunțat rezultatul său în 1707, cu 41 de ani înainte ca Euler să publice formula, ceea ce face ca demonstrația să pară mai degrabă magie decât mecanică.
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
Teorema lui De Moivre este instrumentul cheie pentru calcularea puterilor și rădăcinilor numerelor complexe, pentru deducerea formulelor de unghiuri multiple (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) și pentru găsirea celor n rădăcini de ordinul n egal distanțate ale oricărui număr complex. Leagă algebra numerelor complexe de geometria rotației.
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
Teorema lui De Moivre arată că cos(n*theta) poate fi întotdeauna scris ca un polinom în cos(theta). Acestea sunt polinoamele Cebîșev T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). De exemplu, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, deci T_2(x) = 2x^2 - 1. Ele apar în analiza numerică, în proiectarea filtrelor și în teoria aproximării.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.
