Co je De Moivrova věta?
De Moivrova věta říká, že umocnění bodu na jednotkové kružnici na n-tou mocninu jednoduše vynásobí jeho úhel n-krát. Pokud začnete při úhlu θ a operaci aplikujete n-krát, skončíte při úhlu nθ. Toto je geometrické jádro aritmetiky komplexních čísel.
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
Věta plyne okamžitě z Eulerova vzorce e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Umocníme-li obě strany na n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre prohlásil svůj výsledek v roce 1707, 41 let předtím, než Euler publikoval vzorec, což dělá z důkazu spíše kouzlo než mechaniku.
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
De Moivrova věta je klíčovým nástrojem pro výpočet mocnin a odmocnin komplexních čísel, odvozování vzorců pro násobné úhly (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) a hledání n rovnoměrně rozložených n-tých odmocnin libovolného komplexního čísla. Spojuje algebru komplexních čísel s geometrií rotace.
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
De Moivrova věta ukazuje, že cos(n*theta) lze vždy zapsat jako polynom v cos(theta). Jedná se o Chebyshevovy polynomy T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Například cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, tedy T_2(x) = 2x^2 - 1. Vyskytují se v numerické analýze, návrhu filtrů a teorii aproximace.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
