Τι είναι το Θεώρημα του De Moivre;
Το θεώρημα του De Moivre λέει ότι η ύψωση ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο στη ν-οστή δύναμη απλώς πολλαπλασιάζει τη γωνία του επί n. Αν ξεκινήσετε στη γωνία θ και εφαρμόσετε την πράξη n φορές, καταλήγετε στη γωνία nθ. Αυτή είναι η γεωμετρική καρδιά της αριθμητικής των μιγαδικών αριθμών.
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
Το θεώρημα προκύπτει άμεσα από τον τύπο του Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Υψώνοντας και τις δύο πλευρές στη δύναμη n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). Ο De Moivre διατύπωσε το αποτέλεσμά του το 1707, 41 χρόνια πριν ο Euler δημοσιεύσει τον τύπο, κάνοντας την απόδειξη να μοιάζει με μαγεία παρά με μηχανική.
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
Το θεώρημα του De Moivre είναι το βασικό εργαλείο για τον υπολογισμό δυνάμεων και ριζών μιγαδικών αριθμών, την εξαγωγή τύπων πολλαπλής γωνίας (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), και την εύρεση των n ισαπεχουσών ν-οστών ριζών οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού. Συνδέει την άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών με τη γεωμετρία της περιστροφής.
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
Το θεώρημα του De Moivre δείχνει ότι το cos(n*theta) μπορεί πάντα να γραφτεί ως πολυώνυμο του cos(theta). Αυτά είναι τα πολυώνυμα Chebyshev T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Για παράδειγμα, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, οπότε T_2(x) = 2x^2 - 1. Εμφανίζονται στην αριθμητική ανάλυση, στον σχεδιασμό φίλτρων και στη θεωρία προσέγγισης.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
