Christoffer De Geer 2026. március 21.

Mik az irracionális számok?

p/q has no answer

egyes számok nem írhatók fel törtként

Egy szám akkor irracionális, ha nem fejezhető ki p/q törtként, ahol p és q egész számok. Tizedes tört alakja soha nem ér véget, és soha nem ismétlődik. A sqrt(2), pi, e és phi mind irracionális. Ezek nem kivételek vagy érdekességek: a valós számok túlnyomó többsége irracionális.

Rational and irrational numbers on the number line

Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.

Geometric proof: √2 is irrational

Unit square diagonal = √2. Assume √2 = p/q (lowest terms).

Then 2 = p²/q², so p² = 2q² – p² is even, so p is even. Write p = 2k.

Then 4k² = 2q², so q² = 2k² – q is also even. Contradicts p/q in lowest terms. ∎

Decimal expansions: how to spot the difference

Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
RATIONAL: terminates or repeats	IRRATIONAL: never repeats
1/4 = 0.25000...	sqrt(2) = 1.4142135...
terminates	no pattern, ever
1/3 = 0.3333...	pi = 3.1415926...
repeating block: {3}	no pattern, ever
22/7 = 3.142857...	e = 2.7182818...
repeating block: {142857}	no pattern, ever
5/11 = 0.454545...	phi = 1.6180339...
repeating block: {45}	no pattern, ever

How many irrationals are there compared to rationals?

The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.

Transzcendens számok → A 2 négyzetgyöke → Pi (π) → Számrendszerek → Lánctörtek →

Kapcsolódó témák

Transzcendens számok Sqrt2 Lánctörtek

Fontos tények az irracionális számokról

Egy szám akkor irracionális, ha nem írható fel p/q törtként, ahol p és q egész számok. Tizedes tört alakja soha nem ér véget, és soha nem ismétlődik. A püthagoreusok i. e. 500 körül bizonyították, hogy a sqrt(2) irracionális, ami akkoriban megdöbbentő felfedezés volt. A pi-ről Lambert bizonyította 1761-ben, hogy irracionális, az e-ről pedig Euler 1737-ben. A legtöbb valós szám irracionális: a racionális számok megszámlálhatóan végtelenek, de az irracionálisok megszámlálhatatlanok, így ha véletlenszerűen választunk egy valós számot, az 1 valószínűséggel irracionális lesz. Az algebrai irracionálisok kielégítenek polinomegyenleteket; a transzcendensek nem.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Mit tettek a ptolemaiosziak, amikor felfedezték, hogy a sqrt(2) irracionális?

tap · space

1 / 10

Készen áll a játékra?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Játsszon most - ingyenes

Nincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.