Christoffer De Geer 21 березня 2026 р.

Що таке ірраціональні числа?

p/q не має відповіді

деякі числа не можна записати як дріб

Число ірраціональне, якщо його не можна виразити як дріб p/q, де p та q - цілі числа. Його десятковий запис ніколи не закінчується і ніколи не повторюється. sqrt(2), pi, e та phi - усі ірраціональні. Вони не винятки чи дивовижі: переважна більшість дійсних чисел ірраціональні.

Rational and irrational numbers on the number line

Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.

Geometric proof: √2 is irrational

Unit square diagonal = √2. Assume √2 = p/q (lowest terms).

Then 2 = p²/q², so p² = 2q² – p² is even, so p is even. Write p = 2k.

Then 4k² = 2q², so q² = 2k² – q is also even. Contradicts p/q in lowest terms. ∎

Decimal expansions: how to spot the difference

Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
RATIONAL: terminates or repeats	IRRATIONAL: never repeats
1/4 = 0.25000...	sqrt(2) = 1.4142135...
terminates	no pattern, ever
1/3 = 0.3333...	pi = 3.1415926...
repeating block: {3}	no pattern, ever
22/7 = 3.142857...	e = 2.7182818...
repeating block: {142857}	no pattern, ever
5/11 = 0.454545...	phi = 1.6180339...
repeating block: {45}	no pattern, ever

How many irrationals are there compared to rationals?

The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.

Трансцендентні числа → Квадратний корінь із 2 → Пі (π) → Системи числення → Ланцюгові дроби →

Пов'язані теми

Трансцендентні числа Корінь із 2 Ланцюгові дроби

Ключові факти про ірраціональні числа

Число ірраціональне, якщо його не можна записати як дріб p/q з цілими p та q. Його десятковий запис ніколи не закінчується і ніколи не повторюється. Піфагорійці довели ірраціональність sqrt(2) близько 500 року до н.е., що було приголомшливим відкриттям на той час. Ірраціональність pi довів Ламберт 1761 року, а e - Ейлер 1737 року. Більшість дійсних чисел ірраціональні: раціональних числа зліченно нескінченно багато, але ірраціональні незліченні, тож вибір випадкового дійсного числа дає ірраціональне з імовірністю 1. Алгебраїчні ірраціональні числа задовольняють поліноміальні рівняння; трансцендентні - ні.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Чи більше раціональних чи ірраціональних чисел?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.