Christoffer De Geer 21 Μαρτίου 2026

Τι είναι οι άρρητοι αριθμοί;

το p/q δεν έχει απάντηση

ορισμένοι αριθμοί δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα

Ένας αριθμός είναι άρρητος αν δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα p/q όπου τα p και q είναι ακέραιοι. Το δεκαδικό του ανάπτυγμα δεν τελειώνει ποτέ και δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Τα sqrt(2), pi, e και phi είναι όλα άρρητα. Δεν είναι εξαιρέσεις ή περιέργειες: η συντριπτική πλειονότητα των πραγματικών αριθμών είναι άρρητοι.

Rational and irrational numbers on the number line

Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.

Geometric proof: √2 is irrational

Unit square diagonal = √2. Assume √2 = p/q (lowest terms).

Then 2 = p²/q², so p² = 2q² – p² is even, so p is even. Write p = 2k.

Then 4k² = 2q², so q² = 2k² – q is also even. Contradicts p/q in lowest terms. ∎

Decimal expansions: how to spot the difference

Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
RATIONAL: terminates or repeats	IRRATIONAL: never repeats
1/4 = 0.25000...	sqrt(2) = 1.4142135...
terminates	no pattern, ever
1/3 = 0.3333...	pi = 3.1415926...
repeating block: {3}	no pattern, ever
22/7 = 3.142857...	e = 2.7182818...
repeating block: {142857}	no pattern, ever
5/11 = 0.454545...	phi = 1.6180339...
repeating block: {45}	no pattern, ever

How many irrationals are there compared to rationals?

The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.

Υπερβατικοί αριθμοί → Τετραγωνική ρίζα του 2 → Πι (π) → Αριθμητικά συστήματα → Συνεχή κλάσματα →

Σχετικά θέματα

Υπερβατικοί αριθμοί √2 Συνεχή κλάσματα

Βασικά στοιχεία για τους άρρητους αριθμούς

Ένας αριθμός είναι άρρητος αν δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα p/q με ακέραιους p και q. Το δεκαδικό του ανάπτυγμα δεν τελειώνει ποτέ και δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Οι Πυθαγόρειοι απέδειξαν ότι το sqrt(2) είναι άρρητο γύρω στο 500 π.Χ., μια συγκλονιστική ανακάλυψη για την εποχή. Το pi αποδείχθηκε άρρητο από τον Lambert το 1761, και το e από τον Euler το 1737. Οι περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί είναι άρρητοι: οι ρητοί είναι αριθμήσιμα άπειροι, αλλά οι άρρητοι είναι μη αριθμήσιμοι, οπότε η τυχαία επιλογή ενός πραγματικού αριθμού δίνει άρρητο με πιθανότητα 1. Οι αλγεβρικοί άρρητοι ικανοποιούν πολυωνυμικές εξισώσεις· οι υπερβατικοί όχι.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Τι είναι ένας άρρητος αριθμός;

tap · space

1 / 10

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.