Christoffer De Geer 21. března 2026

Co jsou iracionální čísla?

p/q nemá řešení

některá čísla nelze zapsat jako zlomek

Číslo je iracionální, pokud nelze vyjádřit jako zlomek p/q, kde p a q jsou celá čísla. Jeho desetinový rozvoj nikdy nekončí a neopakuje se. sqrt(2), pi, e a phi jsou všechna iracionální. Nejsou to výjimky ani kuriozita: velká většina reálných čísel je iracionálních.

Rational and irrational numbers on the number line

Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.

Geometric proof: √2 is irrational

Unit square diagonal = √2. Assume √2 = p/q (lowest terms).

Then 2 = p²/q², so p² = 2q² - p² is even, so p is even. Write p = 2k.

Then 4k² = 2q², so q² = 2k² - q is also even. Contradicts p/q in lowest terms. ∎

Decimal expansions: how to spot the difference

Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
RATIONAL: terminates or repeats	IRRATIONAL: never repeats
1/4 = 0.25000...	sqrt(2) = 1.4142135...
terminates	no pattern, ever
1/3 = 0.3333...	pi = 3.1415926...
repeating block: {3}	no pattern, ever
22/7 = 3.142857...	e = 2.7182818...
repeating block: {142857}	no pattern, ever
5/11 = 0.454545...	phi = 1.6180339...
repeating block: {45}	no pattern, ever

How many irrationals are there compared to rationals?

The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.

Transcendentní čísla → Druhá odmocnina z 2 → Pi (π) → Číselné soustavy → Řetězové zlomky →

Související témata

Transcendentní čísla Odmocnina z 2 Řetězové zlomky

Klíčová fakta o iracionálních číslech

Číslo je iracionální, pokud nelze zapsat jako zlomek p/q s celými čísly p a q. Jeho desetinový rozvoj nikdy nekončí a neopakuje se. Pythagorejové dokázali iracionálnost sqrt(2) přibližně 500 př. n. l., což byl v té době šokující objev. Pi byl dokázán jako iracionální Lambertem v roce 1761 a e Eulerem v roce 1737. Většina reálných čísel je iracionálních: racionálních je spočetně nekonečně, ale iracionálních je nespočetně, takže náhodná volba reálného čísla dává iracionální s pravděpodobností 1. Algebraická iracionální čísla splňují polynomiální rovnice; transcendentní ne.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Co je iracionální číslo?

tap · space

1 / 10

Připraveni hrát?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Hrát nyní - zdarma

Bez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.