Christoffer De Geer 21 במרץ 2026

מהם מספרים אי-רציונליים?

p/q has no answer

מספרים מסוימים לא ניתנים לכתיבה כשבר

מספר הוא אי-רציונלי אם לא ניתן לבטא אותו כשבר p/q כאשר p ו-q שלמים. הפיתוח העשרוני שלו לעולם אינו מסתיים ולעולם אינו חוזר על עצמו. sqrt(2), pi, e ו-phi כולם אי-רציונליים. הם אינם יוצאי דופן או סקרנות: הרוב המכריע של המספרים הממשיים הם אי-רציונליים.

Rational and irrational numbers on the number line

Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.

Geometric proof: √2 is irrational

Unit square diagonal = √2. Assume √2 = p/q (lowest terms).

Then 2 = p²/q², so p² = 2q² – p² is even, so p is even. Write p = 2k.

Then 4k² = 2q², so q² = 2k² – q is also even. Contradicts p/q in lowest terms. ∎

Decimal expansions: how to spot the difference

Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
RATIONAL: terminates or repeats	IRRATIONAL: never repeats
1/4 = 0.25000...	sqrt(2) = 1.4142135...
terminates	no pattern, ever
1/3 = 0.3333...	pi = 3.1415926...
repeating block: {3}	no pattern, ever
22/7 = 3.142857...	e = 2.7182818...
repeating block: {142857}	no pattern, ever
5/11 = 0.454545...	phi = 1.6180339...
repeating block: {45}	no pattern, ever

How many irrationals are there compared to rationals?

The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.

מספרים טרנסצנדנטיים → השורש הריבועי של 2 → פאי (π) → שיטות ספירה → שברים משולבים →

נושאים קשורים

מספרים טרנסצנדנטיים Sqrt2 שברים משולבים

עובדות מפתח על מספרים אי-רציונליים

מספר הוא אי-רציונלי אם לא ניתן לכתוב אותו כשבר p/q עם שלמים p ו-q. הפיתוח העשרוני שלו לעולם אינו מסתיים ולעולם אינו חוזר על עצמו. הפיתגוראים הוכיחו ש-sqrt(2) אי-רציונלי בסביבות 500 לפנה"ס, גילוי מזעזע באותה תקופה. פאי הוכח כאי-רציונלי על ידי למברט ב-1761, ו-e על ידי אוילר ב-1737. רוב המספרים הממשיים אי-רציונליים: הרציונליים הם אינסופיים בני-מנייה אך האי-רציונליים בלתי-בני-מנייה, כך שבחירת מספר ממשי באקראי נותנת אי-רציונלי בהסתברות 1. אי-רציונליים אלגבריים מקיימים משוואות פולינומיות; טרנסצנדנטיים לא.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

ציין ארבעה מספרים אי-רציונליים.

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.