Mi a Gelfond-állandó?
A Gelfond-állandó az e a π hatványra emelve. Közelítő értéke 23.14069263277927… Annak bizonyítása, hogy transzcendens, Hilbert 7. problémája volt, amelyet 1900-ban tűzött ki a 20. század 23 legfontosabb megoldatlan kérdésének egyikeként. Alekszandr Gelfond 1934-ben oldotta meg.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
A Gelfond-Schneider-tétel (1934) kimondja: ha a algebrai, nem 0 vagy 1, és b algebrai és irracionális, akkor a^b transzcendens. A Gelfond-állandó e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Itt a = −1 (algebrai) és b = −i (algebrai és irracionális). A tétel közvetlenül alkalmazható.
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
Az e^π − π ≈ 19.9990999 numerikus majdnem-egyezésnek nincs ismert matematikai magyarázata. Valószínűleg véletlen egybeesés, de hasonló egybeesésekről (mint Ramanujan állandója) néha kiderül, hogy mély okuk van. Az e^π-t több millió tizedesjegyig kiszámították: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
A Gelfond-állandó e^pi ≈ 23.14069. Annak bizonyítása, hogy transzcendens, Hilbert 7. problémája volt (1900). Gelfond 1934-ben oldotta meg: ha a algebrai (nem 0 vagy 1) és b algebrai és irracionális, akkor a^b transzcendens. Mivel e^pi = (-1)^(-i), és a -1 és -i algebraiak, a -i pedig irracionális, a tétel alkalmazható. Az e^pi - pi ≈ 19.999 majdnem-egybeesésnek nincs ismert matematikai magyarázata.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
