Ce este constanta lui Gelfond?
Constanta lui Gelfond este e ridicat la puterea π. Valoarea sa aproximativă este 23.14069263277927… Demonstrarea faptului că este transcendentă a fost a 7-a problemă a lui Hilbert, formulată în 1900 ca una dintre cele 23 de cele mai importante întrebări nerezolvate pentru secolul al XX-lea. Alexander Gelfond a rezolvat-o în 1934.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
Teorema Gelfond-Schneider (1934) afirmă: dacă a este algebric, diferit de 0 sau 1, iar b este algebric și irațional, atunci a^b este transcendent. Constanta lui Gelfond e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Aici a = −1 (algebric) și b = −i (algebric și irațional). Teorema se aplică direct.
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
Apropierea numerică e^π − π ≈ 19.9990999 nu are nicio explicație matematică cunoscută. Este probabil o coincidență, dar coincidențe similare (precum constanta lui Ramanujan) se dovedesc uneori a avea motive profunde. e^π a fost calculat la milioane de zecimale: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
Constanta lui Gelfond e^pi ≈ 23.14069. Demonstrarea faptului că este transcendentă a fost a 7-a problemă a lui Hilbert (1900). Gelfond a rezolvat-o în 1934: dacă a este algebric (diferit de 0 sau 1) și b este algebric și irațional, atunci a^b este transcendent. Deoarece e^pi = (-1)^(-i), iar -1 și -i sunt algebrice cu -i irațional, teorema se aplică. Apropierea e^pi - pi ≈ 19.999 nu are nicio explicație matematică cunoscută.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.
