Apa itu Konstanta Gelfond?
Konstanta Gelfond adalah e yang dipangkatkan dengan π. Nilainya kira-kira 23,14069263277927… Membuktikan bahwa bilangan ini transendental adalah masalah ke-7 Hilbert, yang diajukan pada 1900 sebagai salah satu dari 23 pertanyaan tak terpecahkan terpenting abad ke-20. Alexander Gelfond menyelesaikannya pada 1934.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
Teorema Gelfond–Schneider (1934) menyatakan: jika a aljabar, bukan 0 atau 1, dan b aljabar serta irasional, maka a^b bersifat transendental. Konstanta Gelfond e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Di sini a = −1 (aljabar) dan b = −i (aljabar dan irasional). Teorema itu berlaku secara langsung.
| Ausdruck | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
Hampir-kebetulan numerik e^π − π ≈ 19,9990999 tidak memiliki penjelasan matematis yang diketahui. Kemungkinan besar ini hanya kebetulan, tetapi kebetulan serupa (seperti konstanta Ramanujan) kadang-kadang ternyata memiliki alasan yang dalam. e^π telah dihitung hingga jutaan tempat desimal: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
Konstanta Gelfond e^pi ≈ 23,14069. Membuktikan bahwa ia transendental adalah masalah ke-7 Hilbert (1900). Gelfond menyelesaikannya pada 1934: jika a aljabar (bukan 0 atau 1) dan b aljabar serta irasional, maka a^b transendental. Karena e^pi = (-1)^(-i), dan -1 serta -i keduanya aljabar dengan -i irasional, teorema itu berlaku. Hampir-kebetulan e^pi - pi ≈ 19,999 tidak memiliki penjelasan matematis yang diketahui.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.
